Cubo mágico: Resolvendo na Sorte!

Quais são as chances de resolver o cubo mágico fazendo movimentos aleatórios?

Resposta curta: Depende de quantos movimentos você vai fazer.

Resposta longa: "God's number (O número de Deus)" é 20. Este é o número mínimo de movimentos necessários para resolver qualquer cubo mágico. Isso significa que não importa a forma como o cubo esta embaralhada é possível resolve-lo com 20 movimentos, ou menos. Isso foi provado pelo time cubo20 em 2010 (para conferir a matéria clique aqui).

Esta informação nos diz algo interessante já que o cubo mágico tem 43.252.003.274.489.856.000 "em baralhamentos" diferentes, nos podemos classificar os embaralhamentos pelo numero de mínimo de movimentos necessário para resolvê-lo.

MOVIMENTOS = Número de movimentos necessários para resolver o cubo.
Nº DE POSIÇÕES = Número de embaralhamentos que podem ser resolvidos com o numero de movimentos.

De uma olhada na tabela acima, dos 43 quintilhões de possibilidades mais de dois terços delas podem ser resolvidas com 18 movimentos, e a esmagadora maioria das configurações possíveis podem ser resolvida de 15 a 20 movimentos.

Então, se você pegar um cubo mágico aleatório este cubo esta embaralhado de forma que seja a probabilidade de que ele esteja em qualquer uma das possíveis posições é a mesma. As probabilidades de que ele esteja em uma configuração em que são necessários 18 movimentos para resolver são consideráveis. Sendo assim quais são as chances de você fazer 18 movimentos aleatórios e conseguir montar o cubo? Para descobrir isto precisamos saber quantos movimentos são possíveis.

Sabendo que o cubo tem seis faces, cada face pode ser rodada uma, duas ou três vezes (4 movimentos na mesma face fazem o cubo voltar a posição inicial), ou seja, 18 movimentos são possíveis (6 faces *3 movimentos possáveis =18 movimentos no total). Valor que pode ser confirmado pela tabela, já que existem 18 posições que podem ser resolvidas com apenas um movimento.Logo se são possíveis 18 movimentos a possibilidade de conseguir montar o cubo com 18 movimentos aleatórios é de 1 em 18^18 ou 0.000000000000000000000025%. Esse número é tão espantosamente pequeno que eu jamais acreditaria se algum dia alguém me dizer que resolveu o cubo mágico por acidente.

 Ok, mas e se nos continuarmos a fazer movimentos? Quantos movimentos temos que fazer antes que as possibilidades de resolvermos o cubo se tornem boas?

Na física estática existe a "hipótese ergódiga" que diz que qualquer configuração de um sistema é igualmente possível, e que se você esperar tempo suficiente o sistema ira passar por todos os estados possíveis. isto é útil para algo como a colisão de gás na teoria cinética - se você deixa-los tempo suficiente eventualmente cada partícula terá visitado toda a caixa.

Se você esperar tempo suficiente as possibilidades de que cada partícula terá passado por toda a caixa. 

Isso não seria relevante se estivéssemos analisando um cubo mágico resolvido através de um algoritmo, mas quanto tratamos de movimentos aleatórios podem ser pensados através da hipótese ergódiga Tudo que se tem que fazer é realizar movimentos aleatórios suficientes no cubo mágico que ele provavelmente passará por todas as suas configurações.

Inicialmente a ideia pode parecer esquisita, mas todas as configurações do cubo são igualmente possíveis. Inicialmente não há nada de especial na configuração onde todas as faces do cubo têm a mesma cor. Poderíamos-nos tirar os adesivos de cores e colar letras, números ou até desenhos e dizer que isto é a solução.

Eis um exemplo.

Essa ideia é como embaralhar um baralho até que as cartas estejam arrumadas por naipe e valor. Embora improvável todo o embaralhamentos do baralho tem exatamente a mesma probabilidade de acontecer. É improvável porque há muito mais embaralhamentos onde as cartas estão desarrumadas e apenas um onde as cartas estão em perfeita ordem.

Se o cubo mágico tem 43 quintilhões de possibilidades, então eu te daria a sugestão de fazer o máximo de movimentos possíveis para aumentar as possibilitas de uma configuração especifica do cubo aconteça - que é a que ele está "montado". Sinceramente para que você consiga boas chances de conseguir esse feito a sugestão é fazer algo em torno de 18.000.000.000.000.000.000 movimentos. Com este número de movimentos praticamente todas as possibilidades dos 18 movimentos terá ocorrido.

Se você tem um cubo mágico em casa e não sabe como resolver, está pode não ser a melhor maneira de resolve-lo. Se você conseguir fazer um movimento por segundo, iria levar uma quadrilhão de anos para resolver ele seguindo nosso "método", o que é 100.000 vezes a idade do univers. Talvez seja mais fácil pedir para um amigo inteligente te ajudar!

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